Question

2．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB=30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE=140°．
①则当旋转时间t=7或25秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC-∠BOE的值．

Answer 1

分析 （1）由∠AOB=90°知∠BOC+∠AOC=90°、∠AOD+∠BOE=90°，根据∠AOD=∠AOC可得答案；
（2）①由∠COE=140°知∠COD=40°，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行线的性质分别求得∠AOD度数，从而求得t的值；
②当OA平分∠COD时∠AOD=∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC=∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD=∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
③由∠AOC=∠COE-∠AOE=140°-∠AOE、∠BOE=90°-∠AOE得∠AOC-∠BOE=（140°-∠AOE）-（90°-∠AOE）=50°．

解答 解：（1）∠BOC=∠BOE，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD=∠AOC，
∴∠BOC=∠BOE；

（2）①∵∠COE=140°，
∴∠COD=40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，

∵AB∥OC，
∴∠AOC=∠A=30°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=70°，即t=7；
如图2，当AB在直线DE下方时，

∵AB∥OC，
∴∠COB=∠B=60°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=20°，
则∠AOD=90°+20°=110°，
∴t=$\frac{360°-110°}{10}$=25，
故答案为：7或25；
②当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC，即10t=20，解得t=2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠COD，即10t-40=40，解得t=8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠COD，即360-10t=40，解得：t=32；
综上，t的值为2、8、32；
③∵∠AOC=∠COE-∠AOE=140°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOC-∠BOE=（140°-∠AOE）-（90°-∠AOE）=50°，
∴∠AOC-∠BOE的值为50°．

点评 本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．