Question

14．观察以下等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$…
（1）通过观察，在横线上填入正确答案  $\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；（其中n为正整数）
（2）设$a=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，$b=\frac{1}{2}$，类比（1）的思想，你能比较出a、b的大小吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）观察所给算式，找出其中的规律，然后依据规律可得出答案；
（2）先求得a的值，然后再比较大小即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（2）a=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}•\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{n}{2n+1}$$＜\frac{1}{2}$．
∴a＜b．

点评 本题主要考查的是求代数式的值，拆项裂项法的应用是解题的关键．