Question

2．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q．

（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC=180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；
（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；
（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠PAQ+∠PCQ=90°，再根据三角形的内角和即可得出∠Q的度数；
（2）先延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F，根据平行线的性质得出∠BAQ=∠CFQ，∠PEC=∠BAE，根据三角形的外角得出∠APC=∠PCE+∠PEC=∠PCE+∠BAE=2∠QCF+2∠BAE=2（∠QCF+∠BAE），最后根据∠AQC=∠QCF+∠BAE即可得出∠APC=2∠AQC．
（3）连接RQ，并延长RQ，连接RP并延长RP，利用三角形的外角得出∠AQC=∠ARC+∠QCR+∠QAR，从而得出2∠AQC=2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR ①，根据∠APC=∠ARC+2∠QAR+2∠QCR ②，由①-②即可得出2∠AQC-∠APC=∠ARC．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AQ、CQ是∠PAB和∠PCD的平分线，
∴∠Q=90°；

（2）延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F
∵AB∥CD，
∴∠BAQ=∠CFQ，∠PEC=∠BAE，
∴∠APC=∠PCE+∠PEC=∠PCE+∠BAE=2∠QCF+2∠BAE=2（∠QCF+∠BAE），
∵∠AQC=∠QCF+∠BAE，
∴∠APC=2∠AQC．

（3）连接RQ，并延长RQ，
连接RP并延长RP，
∵∠AQC=∠3+∠4，
∴∠AQC=∠QRC+∠QCR+∠QAR+∠QRA=∠ARC+∠QCR+∠QAR，
∴2∠AQC=2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR ①，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=2∠QAR+∠ARP+2∠QCR+∠CRP=∠ARC+2∠QAR+2∠QCR ②，
∴①-②得，
2∠AQC-∠APC=∠ARC．

点评 此题考查了平行线的性质，用到的知识点是平行线的性质、三角形的外角、三角形的内角和定理，关键是根据题意画出图形作出辅助线．