如图1.点A.B是双曲线y=$\frac{k}{x}$第一象限的一支上任意两点.它们的横坐标分别为a.b.直线AB交y轴于点P.交x轴于点Q．过点A作y轴的垂线.垂足为C.过点B作x轴的垂线.垂足为点D．直线AC．BD相交于点E．(1)求证:△EAB∽△ECD,(2)求证:PA=BQ,(3)如图2.点A.B分别是双曲线y=$\frac{k}{x}$两支上任意一点.直线AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图1，点A，B是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）第一象限的一支上任意两点，它们的横坐标分别为a，b，直线AB交y轴于点P，交x轴于点Q．过点A作y轴的垂线，垂足为C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D．直线AC．BD相交于点E．
（1）求证：△EAB∽△ECD；
（2）求证：PA=BQ；
（3）如图2，点A，B分别是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）两支上任意一点，直线AB交y轴于点P，交x轴于点Q，直接写出图中相等的线段（不必证明）．

分析（1）先确定出点A，B坐标，进而得出AE，CE，BE，DE，用两边对应成比例，夹角相等得出结论；
（2）先确定出直线PQ解析式，进而得出P，Q的坐标，用两点间的距离公式求解即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．

解答解：（1）∵点A，B是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）第一象限的一支上任意两点，它们的横坐标分别为a，b，
∴A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
∴AC=a，CE=b，BD=$\frac{k}{b}$，DE=$\frac{k}{a}$，
∴AE=CE-AC=b-a．BE=DE-BD=$\frac{k}{a}-\frac{k}{b}=\frac{k}{ab}（b-a）$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{b-a}{b}$，$\frac{BE}{DE}=\frac{\frac{k}{ab}（b-a）}{\frac{k}{a}}$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，
∵∠AEB=∠CED=90°，
∴△EAB∽△ECD，
（2）设直线PQ解析式为y=k'x+b'，
∵A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），在直线PQ上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ak'+b'=\frac{k}{a}}\\{bk'+b'=\frac{k}{b}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k'=-\frac{k}{ab}}\\{b'=\frac{k}{ab}（a+b）}\end{array}\right.$
∴直线PQ解析式为y=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k}{ab}（a+b）$，
∴P（0，$\frac{k}{ab}（a+b）$，Q（a+b，0），
∵A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
∴AP²=a²+[$\frac{k}{ab}（a+b）$-$\frac{k}{a}$]²=a²+（$\frac{k}{b}$）²，
BQ²=（a+b-b）²+（0-$\frac{k}{b}$）²=a²+（$\frac{k}{b}$）²，
∴PA=BQ，
（3）AP=BQ，BP=AQ，
理由：AP=BQ，BP=AQ，
设A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k}{ab}（a+b）$，
∴P（0，$\frac{k}{ab}（a+b）$，Q（a+b，0），
∵A（a，$\frac{k}{a}$），B（b，$\frac{k}{b}$），
∴AP²=a²+[$\frac{k}{ab}（a+b）$-$\frac{k}{a}$]²=a²+（$\frac{k}{b}$）²，
BQ²=（a+b-b）²+（0-$\frac{k}{b}$）2=a²+（$\frac{k}{b}$）²，
∴AP²=BQ²，
∴AP=BQ，
∴BP=AQ．