Question

15．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（　　）

• A． 90
• B． 100
• C． 110
• D． 121

Answer 1

分析 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BOF}&{\;}\\{ACB=∠OBF}&{\;}\\{BC=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．
故选：C．

点评 本题考查了勾股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．