Question

2．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边的中点，过A点作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD，BF．
（1）求证：四边形ADBF是矩形；
（2）在（1）的条件下，若AB=$\sqrt{7}$，且BD，AD的长是关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的两个实数根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）有等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由平行线的性质得出∠FAE=∠DBE，由ASA证明△AEF≌△BED，得出AF=BD，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出BD²+AD²=AB²=7，由根与系数的关系得出BD+AD=-（2m-1）=1-2m，BD+AD=m²，得出BD²+AD²=（BD+AD）²-2BD•AD=2m²-4m+1，得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，点D，E分别是BC，AB边的中点，
∴AD⊥BC，AE=BE，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠DBE，
在△AEF和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠DBE}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AEF=∠BED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BED（ASA），
∴AF=BD，
又∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBF是矩形；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴BD²+AD²=AB²=7，
∵BD，AD的长是关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的两个实数根，
∴BD+AD=-（2m-1）=1-2m，BD+AD=m²，
∴BD²+AD²=（BD+AD）²-2BD•AD=（1-2m）²-2m²=2m²-4m+1，
∴2m²-4m+1=7，
解得：m=3，或m=-1，
又∵△=（2m-1）²-4m²≥0，
∴m≤$\frac{1}{4}$，
故m=-1．

点评 本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根与系数的关系以及根的判别式；熟练掌握等腰三角形的性质和矩形的判定，由勾股定理和根与系数关系得出方程是解决问题（2）的关键．