Question

7．如图，等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以1cm/s的速度移动，
（1）求△ABC的面积；
（2）请你探究：当点P运动几秒时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直？

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．

解答 解：（1）作AD⊥BC
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AD=$\sqrt{A{B^2}-B{D^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}_{\;}}=3$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•AD=12（c{m^2}）$；

（2）分两种情况：

当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP²=PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+3²=（PD+4²-5²，
∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=1t，
∴t=1.75，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25，
∴t=6.25．
综上所述，当P运动1.75s或6.25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．

点评 此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．