Question

8．如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．

（1）求DM的长；
（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）方法一、由菱形的性质得到条件，判断出△AMH∽△CDM，由勾股定理计算出DH，即可；
方法二、先判断出△CDM≌△CBM，再用勾股定理即可求出DM，
（2）由△BCM≌△DCM计算出BM=DM，分两种情况计算即可；
（3）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可．

解答 解：（1）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，
∴DH=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵DH⊥AB，
∴∠AHD=∠CDH，
∴△AMH∽△CDM，
∴$\frac{HM}{DM}=\frac{AH}{CD}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DH}{DM}=\frac{8}{5}$，
∵DH=4，
∴DM=$\frac{5}{2}$；
方法二、在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，
∴DH=4，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=∠ACB，CD=CB，
在△DCM和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠DCM=∠BCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△BCM，
∴DM=BM，
在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH-DM=4-DM，BH=AB-AH=2，
根据勾股定理得，DM²-MH²=BH²，
即：DM²-（4-DM）²=4，
∴DM=$\frac{5}{2}$；

（2）在△BCM和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{∠ACD=∠ACB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DCM，
∴BM=DM=$\frac{5}{2}$，∠CDM=∠CBM=90°
①当P在AB之间时，S=$\frac{1}{2}$（5-2t）×$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$．
②当P在BC之间时，S=$\frac{1}{2}$（2t-5）×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$，

（3）存在，
∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，
∴∠ADM+∠BCD=90°，
∵∠MPB+∠BCD=90°，
∴∠MPB=∠ADM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM=∠BAM，
∵AM=AM，
∴△ADM≌△ABM，
∴∠ADM=∠ABM，
∴∠MPB=∠ABM，
∵MH⊥AB，
∴PH=BH=2，
∴BP=2BH=4，
∵AB=5，
∴AP=1，
∴t=$\frac{AP}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，和三角形全等的判定和性质，勾股定理得应用，∠MPB=∠ABM的判断是解本题的关键．