Question

13．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，AF⊥BD于F，AG⊥CE于G．求证：AF=AG．

Answer 1

分析 先证明△EBC≌△DCB得∠EBC=∠DCB，可以推出∠ABF=∠ACG，再证明△AGC≌△AFB即可．

解答 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴BE=AE，CD=AD，
∴BE=CD，
在△EBC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠EBC=∠DCB}\\{EB=CD}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB，
∴∠EBC=∠DCB，
∴∠ABF=∠ACG，
在△AGC和△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠ABF}\\{∠G=∠F=90°}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△AFB，
∴AG=AF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，本题用了两次全等，属于中考常考题型．