如图1.在梯形ABCD中.AB∥CD.∠B=90°.AB=18.CD=9.BC=m.P为线段BC上的一动点.且和B.C不重合.E是CD上动点.连接PA.PE(1)如果BC=30.CE=8那么是否存在P点.使以P.A.B三点为顶点的三角形与以P.C.E三点为顶点的三角形相似?若存在.求出BP的长,若不存在.请说明理由,(2)若PE⊥PA且点E总在线段CD上.则m的取值范围是0＜m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=18，CD=9，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，E是CD上动点，连接PA，PE
（1）如果BC=30，CE=8那么是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若PE⊥PA且点E总在线段CD上，则m的取值范围是0＜m≤18$\sqrt{2}$；
（3）如图2，若PE⊥PA，m=36，将△PEC沿PE翻折到△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

分析（1）根据相似三角形的判定与性质，分别得出当$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BP}{CP}$或$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$时符合题意，求出答案即可；
（2）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．

解答解：（1）设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BP}{CP}$或$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似，
∴①$\frac{18}{8}$=$\frac{x}{30-x}$或②$\frac{18}{30-x}$=$\frac{x}{8}$，
解得：x=$\frac{270}{13}$或x₁=6，x₂=24，
故BP的长度为：$\frac{270}{13}$或6或24；

（2）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$，即$\frac{18}{m-x}$=$\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{18}$x²+$\frac{m}{18}$x
=-$\frac{1}{18}$（x-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{72}$，
∴当x=$\frac{m}{2}$时，y取得最大值，最大值为$\frac{{m}^{2}}{72}$，
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴$\frac{{m}^{2}}{72}$≤9，
解得m≤18$\sqrt{2}$．
∴m的取值范围为：0＜m≤18$\sqrt{2}$．
故答案为：0＜m≤18$\sqrt{2}$；

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB．
∵∠BAG=90°，
∴AG∥BC，
∴∠GAP=∠APB，
∴∠GAP=∠APG，
∴AG=PG=PC．

如图2所示，分别延长CE、AG，交于点H，
则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=18-y，GH=AH-AG=36-（36-x）=x，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH²+HE²=GE²，
即：x²+（18-y）²=y²，化简得：x²-36y+324=0 ①
由（1）可知，y=-$\frac{1}{18}$x²+$\frac{m}{18}$x，这里m=36，
∴y=-$\frac{1}{18}$x²+2x，
代入①式整理得：3x²-8x+4=0，
解得：x=18或x=6，
∴BP的长为18或6．