Question

3．己知：如图，若△ABD和△ACE为等腰Rt△，AB=DB，AC=CE，M为DE中点，求证：△BMC为等腰Rt△．

Answer 1

分析 分别取AD、AE中点E、F，连接BE、EM，再连接FM、FC，只要证明△BEM≌△MFC（SAS）即可解决问题．

解答 证明：分别取AD、AE中点E、F，连接BE、EM，再连接FM、FC，
∵M为DE中点，∠AABD=90°，∠BCE=90°，
∴EB=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$AE，
∵M是△ADE中DE边上的中点，
∴FM是△ABC的中位线．
∴FM=$\frac{1}{2}$AD，同理EM=$\frac{1}{2}$A
∴EB=FM，EM=CF，
∵FM∥AD且FM=AE，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴∠AEM=∠AFM．
∵∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠AEM+∠BEM=∠AFM+∠MFC，
即∠BEM=∠MFC，
∴△BEM≌△MFC（SAS）．
∴BM=CM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．