Question

11．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E，F分别为AB，AC上的点，若DE=DF，且AE＞AF，求证：∠EDF与∠BAF互补（提示：作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N）

Answer 1

分析 过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，利用“HL”证明Rt△DEM和Rt△DFN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEM=∠DFN，然后求出∠DEM+∠AFD=180°，再根据四边形的内角和等于360°求解即可．

解答 证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DM=DN，
在Rt△DEM和Rt△DFN中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），
∴∠DEM=∠DFN，
∵∠DFN+∠AFD=180°，
∴∠DEM+∠AFD=180°，
在四边形AEDF中，∠EDF+∠BAF=360°-（∠DEM+∠AFD）=360°-180°=180°，
∴∠EDF与∠BAF互补．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．