Question

【题目】如图，抛物线（）交直线：于点，点两点，且过点，连接，.

（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；

（2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交于点.设点的横坐标为，试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标为；（2）存在， ，；（3）或或.

【解析】

（1）根据一次函数解析式求出A、C两点的坐标，把A、B、C三点代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化为顶点式可求得结果.

（2）先求出BC所在直线的解析式，设出P、Q两点的坐标，根据勾股定理求出AC，根据以，，为顶点的三角形是等腰三角形可分类讨论，分为AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三种情况.

（3）分两种情况讨论，一是F在抛物线上方，过点作轴，可得FH=4，设，可得，求出n代入即可；二是F在抛物线下方，可得，求出n的值即可，最后的结果综合两个结果即可.

解：（1）

∵当时，,

∴;

∴，;

二次函数过点、，设;

∵过点,

∴;

∴;

∴

;

∵,

∴顶点坐标为.

（2）存在.

设过、,

;

设解得：;

∴;

设、;

在中，解得;

①当时;

;

解得：（不合题意舍去），;

∴;

②当时;

;

解得：，（不合题意舍去）;

∴;

③当时;

;

解得：（不合题意舍去）;

∴，;

（3）当在抛物线上方时，，时;

过点作轴，与全等;

则;

设;

则;

解得；，；

或;

当在抛物线下方时，;

（不合题意舍去），;

∴;

∴或或.