Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A、B、D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cosC=$\frac{2}{3}$，AC=8，求⊙O直径．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=$\frac{1}{2}$AC=4，在Rt△CDF中，根据已知条件得到DF，DC，利用勾股定理得CF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△CDF中，∵cosC=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴DC=6，
∴AD=6，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AD}{DF}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}}$，解得AE=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，
即⊙O的直径为$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．