Question

15．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AP是⊙O的切线．已知AC=4，BC=5．

（1）求证：∠PAC=∠ABC；
（2）作∠BAC的平分线，与⊙O相交于点D，与BC相交于点E，连接并延长DC，与AP相交于点F（如图2），若AE=AC，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）作直径AQ，连接QC，根据切线的性质得出∠PAQ=90°，求出∠PAC+∠CAQ=90°，根据圆周角定理得出∠ACQ=90°，∠PAC=∠Q，即可求出答案；
（2）求出∠AEC=∠ACE，∠FAC=∠ABC，根据相似三角形的判定得出△FAC∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）证明：
作直径AQ，连接QC，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAC+∠CAQ=90°，
∵AQ是直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠CAQ+∠Q=90°，
∴∠PAC=∠Q，
∵∠Q=∠ABC，
∴∠PAC=∠ABC；

（2）解：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ACF=∠ADC+∠CAD=∠ABC+∠BAD=∠AEC，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
由（1）知：∠FAC=∠ABC，
∴△FAC∽△ABC，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
即$\frac{CF}{4}$=$\frac{4}{5}$，
∴CF=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．