Question

19．如图，AB为⊙O的直径，直线1切⊙O于点D，过点B作BH⊥1于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）若AB=10，BC=6．求点D到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由直线l与⊙O相切知OD⊥l，结合BH⊥1知OD∥BH，从而得∠ODB=∠DBH=∠OBD，即可得证；
（2）作DE⊥AB，由（1）中角平分线知DE=DH，连接AC，证四边形CHDF是矩形可得DH=CF=$\frac{1}{2}$AC，根据勾股定理求得AC即可得出答案．

解答 解：（1）如图，连接OD，

∵直线l与⊙O相切，
∴OD⊥l，
又∵BH⊥1，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABH，
∴DE=DH，
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACH=∠CHD=∠HDF=90°，
∴四边形CHDF是矩形，
∴DH=CF=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
则DE=DH=CF=$\frac{1}{2}$AC=4．

点评 本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键．