Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=45°时，求∠DEF的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=45°可求出∠ABC=∠ACB=67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．

解答 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°
∴∠1+∠2=112.5°
∴∠3+∠2=112.5°
∴∠DEF=67.5°

点评 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．