Question

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，求出AD=CE，AD∥CE，AE=DC，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质得出OA=$\frac{1}{2}$AE，OC=$\frac{1}{2}$CD，AE=CD，求出OA=OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB=DC，AE=AB，
∴AE=DC，
∴四边形ACED是矩形；

（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AE，OC=$\frac{1}{2}$CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．