Question

4．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上（不与点C、D重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）问题发现：如图1，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是AH=PH，位置关系是AH⊥PH；
（2）拓展探究：如图2，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；
（3）解决问题：若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ=120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出求DP的长度．

Answer 1

分析 （1）连接HC，根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质得到△HDP≌△HQC，根据全等三角形的性质得到HP=HC，∠DHP=∠QHC，根据正方形是轴对称图形证明结论；
（2）同（1）的证明方法相同，根据图形证明即可；
（3）由（1）的结论AH=PH，AH⊥PH，得出∠HPA=45°，推导出∠APD=30°，再由三角函数即可求解．

解答 解：（1）AH=PH，AH⊥PH，
理由如下：如图1，连接HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
由平移的性质可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
∴HA=HP，AH⊥PH；
故答案为：HA=HP，AH⊥PH；

（2）（1）中的结论仍然成立，
如图2，连接HC，
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
AH=PH，AH⊥PH，
理由如下：如图2，连接HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴∠HDP=∠HQC=135°，
由平移的性质可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{PD=CQ}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
∴HA=HP，AH⊥PH；

（3）由（1）知，AH=PH，AH⊥PH，
∴∠HPA=45°，
∵∠AHQ=120°，
∴∠AHB=∠CHB=30°，
∴∠QHP=∠CHB=∠CHP=30°，
∴∠CPH=75°，
∴∠APD=30°，
在Rt△ADP中，AD=2，
∴DP=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．