Question

19．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，
（1）求证：BF=CG；
（2）若AB=7，AC=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接EB、EC，只要证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．
（2）由RT△AEF≌RT△AEG得AF=AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF=CG，易知AB+AC=2AF由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG．
（2）解：在RT△AEF和RT△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴RT△AEF≌RT△AEG（HL），
∴AF=AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF，
∴2AF=10，
∴AF=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、相等垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住这个图形基本结论AB+AC=2AF，属于中考常考题型．