Question

16．把两个相同的矩形按如图方式叠合起来，重叠部分为图中的阴影部分，已知AD=4，DC=3，则重叠部分的面积为（　　）

• A． 6
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{21}{4}$
• D． $\frac{45}{8}$

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AC，继而求出CE，易证得△CEF∽△CAB，根据相似三角形的相似比等于对应高之比求出，求出S_{四边形ABEF}=$\frac{15}{16}$S_△ABC，代入求出即可．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，
∴在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=5，
∴CF=AC-CF=5-4=1，
由矩形的性质得：∠AEF=∠CBA=90°，
∵∠FAE=∠CAB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CAB}}$=（$\frac{CF}{CB}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴S_{四边形ABEF}=$\frac{15}{16}$S_△ABC=$\frac{15}{16}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{45}{8}$，
故选D．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及矩形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．