Question

1．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如$\frac{3}{\sqrt{5}}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；（一）
$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（二）
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$-1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
化简：$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}+\frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{7}}}+…\frac{1}{{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}}$．

Answer 1

分析 原式各项分母有理化，计算即可得到结果．

解答 解：原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}）（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-1）．

点评 此题考查了分母有理化，找出各项的有理化因式是解本题的关键．