Question

已知：关于x的一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据根的判别式可得方程x²-x+m-2=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可；
（2）先根据根与系数的关系得出x₁+x₂=3，x₁x₂=-k，再代入2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，得出2×3-k+10=0进行计算即可．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（-k）＞0，
∴k＞-

9

4

，
（2）∵关于x的一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-k，
∵2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，
∴2×3-k+10=0，
∴k=16．

点评：此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，根与系数的关系是x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．