Question

把两个直角三角形如图（1）放置，使∠ACB与∠DCE重合，AB与DE相交于点O，其中∠DCE=90°，∠BAC=45°，AB=6

2

cm，CE=5cm，CD=10cm．
（1）图1中线段AO的长=

 

cm；DO=

 

cm
（2）如图2，把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁，D₁C与AB相交于点F，若△BCE₁恰好是以BC为底边的等腰三角形，求线段AF的长．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）过点O作OM⊥DC于点M，作ON⊥CB于点N，进而得出AD的长，再利用锐角三角函数关系得出DO的长，再利用勾股定理得出AO的长；
（2）利用旋转的性质以及锐角三角函数关系得出tan∠BCE₁=tanα=

4

3

，再利用tan∠D₁CA=tanα=

FG

6-FG

，即可得出FG的长，进而得出AF的长．

解答：解：（1）过点O作OM⊥DC于点M，作ON⊥CB于点N，
∵∠BAC=45°，AB=6

2

cm，
∴BC=AC=6cm，
∵CE=5cm，CD=10cm，
∴BE=1cm，AD=4cm，
设MO=xcm，
∴AM=xcm，
∴tanD=

MO

MD

=

x

4+x

=

EC

DC

=

5

10

，
解得：x=4，
∴DM=8cm，MO=4cm，
∴DO=4

5

cm，
∵MO=AM=4cm，
∴AO=4

2

cm，
故答案为：4

2

，4

5

；

（2）作FG⊥AC于G点，
设旋转角度为α度，
即∠BCE₁=∠D₁CA=α，
在△BCE₁中，BE₁=CE₁=5，BC=6，
所以tan∠BCE₁=tanα=

4

3

，
因为FG⊥AC，∠ACB=90°，
所以FG∥BC，
所以FG=AG，
所以tan∠D₁CA=tanα=

FG

6-FG

，
∴

4

3

=

FG

6-FG

，
解得：FG=

24

7

，
所以AF=

24

7

2

（cm）．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练结合锐角三角函数关系得出MO的长是解题关键．