如图.抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称.直线AD与y轴交于点E．(1)求直线AD的解析式,(2)如图1.直线AD上方的抛物线上有一点F.过点F作FG⊥AD于点G.作FH平行于x轴交直线AD于点H.求△FGH周长的最大值,(3)点M是抛物线的顶点.点P是y轴上一点.点Q是坐标平面内一点.以A.M.P.Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．

（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

分析（1）先求出C（0，3），A（-1，0），B（3，0），再利用配方法得y=-（x-1）²+4，则抛物线对称轴为直线x=1，于是可确定D（2，3），则可利用待定系数法求直线AD的解析式；
（2）由E（0，1）可判断△OAE为等腰直角三角形，则∠EAO=45°，由于FH∥OA，则可得到△FGH为等腰直角三角形，过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，则△FNH为等腰直角三角形，所以GH=NG，于是得到△FGH周长等于△FGN的周长，由于FG=GN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FN，则△FGN周长=（1+$\sqrt{2}$）FN，所以当FN最大时，△FGN周长的最大，设F（x，-x²+2x+3），则N（x，x+1），则FN=-x²+2x+3-x-1，利用二次函数的最值问题可得当x=$\frac{1}{2}$时，FH有最大值$\frac{9}{4}$，于是△FGN周长的最大值为$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$；
（3）直线AM交y轴于R，M（1，4），利用待定系数法求出直线AM的解析式为y=2x+2，则R（0，2），然后分类讨论：当AQ为矩形AMPQ的对角线，如图1，利用Rt△AOR∽Rt△POA，可计算出OP=$\frac{1}{2}$，则P点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$），接着利用平移可得到Q（2，$\frac{7}{2}$），于是由点T和点Q关于AM所在直线对称，根据线段中点坐标公式易得T点坐标为（0，$\frac{9}{2}$）；当AP为矩形APQM的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，同理可得S点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$），易得R点为AM的中点，则R点为PS的中点，所以PM=SA，P（0，$\frac{9}{2}$），加上PM=AQ，则AQ=AS，于是可判断点Q关于AM的对称点为S，即T点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）．

解答解：（1）当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3），
当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
而点D和点C关于直线x=1对称，
∴D（2，3），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），D（2，3）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=x+1；
（2）当x=0时，y=x+1=1，则E（0，1），
∵OA=OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥OA，
∴△FGH为等腰直角三角形，
过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，
∴FN⊥FH，
∴△FNH为等腰直角三角形，
而FG⊥HN，
∴GH=NG，
∴△FGH周长等于△FGN的周长，
∵FG=GN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FN，
∴△FGN周长=（1+$\sqrt{2}$）FN，
∴当FN最大时，△FGN周长的最大，
设F（x，-x²+2x+3），则N（x，x+1），
∴FN=-x²+2x+3-x-1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，FH有最大值$\frac{9}{4}$，
∴△FGN周长的最大值为（1+$\sqrt{2}$）×$\frac{9}{4}$=$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$，
即△FGH周长的最大值为$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$；
（3）直线AM交y轴于R，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则M（1，4）
设直线AM的解析式为y=mx+n，
把A（-1，0）、M（1，4）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
当x=0时，y=2x+2=2，则R（0，2），
当AQ为矩形APQM的对角线，如图1，
∵∠RAP=90°，
而AO⊥PR，
∴Rt△AOR∽Rt△POA，
∴AO：OP=OR：OA，即1：OP=2：1，解得OP=$\frac{1}{2}$，
∴P点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$），
∵点A（-1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M（1，4），
∴点P（0，-$\frac{1}{2}$）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q（2，$\frac{7}{2}$），
∵点T和点Q关于AM所在直线对称，
∴T点坐标为（0，$\frac{9}{2}$）；
当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，
同理可得S点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$），
∵R点为AM的中点，
∴R点为PS的中点，
∴PM=SA，P（0，$\frac{9}{2}$），
∵PM=AQ，
∴AQ=AS，
∴点Q关于AM的对称点为S，
即T点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）．
综上所述，点T的坐标为（0，$\frac{9}{2}$）或（0，-$\frac{1}{2}$）．