Question

18．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，EF=2$\sqrt{3}$，则AB的长为4．

Answer 1

分析 由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，求出AG，由勾股定理求出AD，即可得出AB的长．

解答 解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又∵F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB，
∵DG⊥AE，
∴AG=FG，
∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}&{\;}\\{∠ADE=∠ECF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF=2$\sqrt{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2，
∴AB=2AD=4；
故答案为：4．

点评 此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．