Question

8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且CD⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接BD．若∠D=30°，BC=1，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
• B． $\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$π-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． π-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可求得∠A=30°，求得OF与AC的长，继而求得∠AOC的度数，然后由S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC，即可求得阴影部分的面积．

解答 解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠D=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∴⊙O的半径为1．
连接OC，
∵OF⊥AC，∠A=30°，OA=1，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2AF=$\sqrt{3}$，
∵∠BOC=2∠A=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{120×π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选B．

点评 此题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．