Question

18．如图，一次函数y=x+b（b为常数）的图象分别交坐标轴于A，B两点，y与反比例函数y=$\frac{\sqrt{2}}{x}$（x＞0）的图象交于点D，则AD•BD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作DC⊥x轴于C，设AC=a，用a、b表示出AD、AB，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a²-ab=$\sqrt{2}$，代入计算即可．

解答 解：作DC⊥x轴于C，
设AC=a，
当x=0时，y=b，
则点B的坐标为：（0，b），
当y=0时，x=-b，
则点A的坐标为：（-b，0），
∴AB=-$\sqrt{2}$b，∠DAC=45°，
∴CD=AC=a，
∴AD=$\sqrt{2}$a，
∴点D的坐标为：（-b+a，a），
∵点D在反比例函数y=$\frac{\sqrt{2}}{x}$的图象上，
∴a（-b+a）=$\sqrt{2}$，即a²-ab=$\sqrt{2}$，
则AD•BD=$\sqrt{2}$a×（$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$b）=2（a²-ab）=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，正确作出辅助线、求出直线与坐标轴的交点坐标、掌握图形与坐标特征是解题的关键．