Question

9．已知：在△ABC中．AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E．F．
（1）如图1．∠B=∠C=30°．求∠EAF的度数．
（2）如图2．AB≠AC．且90°＜∠BAC＜180°
①若∠BAC=140°．则∠EAF=100°：若∠BAC=n°．则∠EAF=（n-40）°
②当∠BAC=135°时．AE⊥AF．
③若BC=a．则△AEF的周长为a．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，F=CF，故可得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，进而可得出结论；
（2）①根据∠BAC的度数得出∠B+∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠BAE+∠CAF的度数，进而可得出结论；
②根据AE⊥AF可知∠EAF=90°，故可得出∠B+∠C+∠BAE+∠CAF的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠BAE+∠CAF的度数，进而可得出结论；
③根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AF=CF，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAF=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°；

（2）①∵∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°-140°=40°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠BAE+∠CAF=40°，
∴∠EAF=140°-40°=100°．
同理，∵∠BAC=n°，
∴∠B+∠C=180°-n°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠BAE+∠CAF=180°-n°，
∴∠EAF=140°-180°+n°=（n-40）°．
故答案为：100，（n-40）°；

②∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAF=180°-90°=90°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠BAC=45°+90°=135°．
故答案为：135；
③∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a．
故答案为：a．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．