Question

8．已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA：PC=1：3，AD⊥PC于点D，求AD：PA的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由BC∥OP，∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1=∠3，得到∠2=∠4，易证得△POC≌△POA，则∠PCO=∠PAO，由PA切⊙O于点A，根据切线的性质得到∠PAO=90°，则有∠PCO=90°，根据切线的判定得到PC与⊙O相切；
（2）连接AC，交OP于M，由切线长定理得出PA=PC，设OC=OA=x，则PA=PC=3x，由勾股定理得出OP=$\sqrt{O{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，AC⊥OP，由射影定理求出PM=$\frac{9\sqrt{10}}{10}$x，得出OM=OP-PM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$x，由射影定理求出CM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$x，得出AC=2CM=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$x，由△APC的面积求出AD，即可得出AD：PA的值．

解答 解：（1）PC与⊙O相切；理由如下：
连接OC，如图1所示：
∵BC∥OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△POC和△POA中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}&{\;}\\{∠2=∠4}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△POA（SAS），
∴∠PCO=∠PAO．
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）连接AC，交OP于M，如图2所示：
∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∵OA：PC=1：3，
设OC=OA=x，则PA=PC=3x，
∴OP=$\sqrt{O{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，AC⊥OP，
由射影定理得：PC²=PM•OP，
∴PM=$\frac{P{C}^{2}}{OP}$=$\frac{9\sqrt{10}}{10}$x，
∴OM=OP-PM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$x，
∵CM²=OM•PM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$x•$\frac{9\sqrt{10}}{10}$x，
∴CM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$x，
∴AC=2CM=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$x，
∵△APC的面积=$\frac{1}{2}$PC•AD=$\frac{1}{2}$AC•PM，
∴AD=$\frac{AC•PM}{PC}$=$\frac{9}{5}$x，
∴$\frac{AD}{PA}$=$\frac{\frac{9}{5}x}{3x}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、切线长定理、射影定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．