Question

13．在平面直角坐标系中，B（2，0），A（6，6），M（0，6），P点为y轴上一动点．
（1）当P在线段OM上运动时，是否存在一个P使S_△PAM+S_△POB=S_△PAB，若存在求出P点的坐标，不存在，试说明理由；
（2）当P在线段OM上运动时，$\frac{∠APB}{∠PAM+∠PBO}$的值是否为定值？若是，试求解，若不是，试说明理由；
（3）当P点运动到x轴下方时，试判断∠PAM、∠APB、∠PBO三者之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）设存在点P（0，m），由已知得出OB=2，ON=AM=AN=6，BN=ON-OB=4，PM=6-m，由三角形的面积关系得出方程，解方程即可；
（2）作PQ∥AM，则PQ∥AM∥ON，由平行线的性质得出∠1=∠PAM，∠2=∠PBO，得出∠APB=∠PAM+∠PBO，即可得出结果；
（3）由平行线的性质得出∠PAM=∠3，再由三角形的外角性质即可得出结论．

解答 解：（1）设存在点P（0，m），
∵B（2，0），A（6，6），M（0，6），
∴OB=2，ON=AM=AN=6，
∴BN=ON-OB=4，PM=6-m
∵S_△PAM+S_△POB=S_△PAB，
∴$\frac{1}{2}$×6×（6-m）+$\frac{1}{2}$×2m=$\frac{1}{2}$×（6+2）×6×$\frac{1}{2}$，
解得：m=3，
∴存在点P，使S_△PAM+S_△POB=S_△PAB，点P坐标为（0，3）；
（2）$\frac{∠APB}{∠PAM+∠PBO}$的值为定值；理由如下：
作PQ∥AM，如图1所示：则PQ∥AM∥ON，
∴∠1=∠PAM，∠2=∠PBO，
∴∠1+∠2=∠PAM+∠PBO，
即∠APB=∠PAM+∠PBO，
∴$\frac{∠APB}{∠PAM+∠PBO}$=1；
即$\frac{∠APB}{∠PAM+∠PBO}$的值为定值1；
（3）∠APB+∠PBO=∠PAM；理由如下：如图2所示；
∵AM∥OB，
∴∠PAM=∠3，
∵∠3=∠APB+∠PBO，
∴∠APB+∠PBO=∠PAM．

点评 本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作平行线得出相等的角是解决问题（2）的关键．