Question

11．如图①，已知A（a，0），B（0，b），且a，b满足a²-8a+b²-8b=-32．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点C在第一象限内的一点，且∠OCB=45°，过A作AD⊥OC于D点，求证：AD=CD；
（3）如图②，若已知E（1，0），连接BE，过B作BF⊥BE且BF=BE，连接AF交y轴于G点，求G点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a-4）²+（b-4）²=0，根据非负数的性质即可解决问题．
（2）由O、A、C、B四点共圆得∠AOB+∠BCA=180°，得∠BCA=90°由此解决问题．
（3）先证明△BFM≌△EBO，求出BM、OM，再证明△FMG≌△AOG即可解决问题．

解答 （1）解：∵a²-8a+b²-8b=-32，
∴（a²-8a+16）+（b²-8b+16）=0，
∴（a-4）²+（b-4）²=0，
∵（a-4）²≥0，（b-4）²≥0，
∴a=b=4，
∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，4）．
（2）证明：∵点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，4），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠BAO，
∴O、A、C、B四点共圆，
∴∠AOB+∠BCA=180°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BCA=90°，
∴∠DCA=90°-∠BCA=45°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，∠DCA=∠DAC=45°，
∴DC=DA．
（3）解：作FM⊥OB于M，
∵∠FBM+∠OBE=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠FBM=∠BEO，
在△FBM和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBM=∠BEO}\\{∠FMB=∠BOE=90°}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△EBO，
∴FM=BO=AO，BM=OE=1，OM=3，
∵FM∥AO，
∴∠FMG=∠AOG，
在△FMG和△AOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMG=∠AOG=90°}\\{∠FGM=∠AGO}\\{FM=AO}\end{array}\right.$，
∴△FMG≌△AOG，
∴MG=OG=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{3}{2}$，
∴点M坐标（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆、坐标与图形、非负数的性质等知识，第一个问题的关键是非负数性质的利用，第二个问题的关键是四点共圆，利用圆内接四边形的性质解决问题，第三个问题通过全等三角形解决问题，属于中考常考题型．