Question

20．如图，矩形EFGH的顶点F，G在等腰Rt△ABC的斜边AB上，点E，H分别在直角边AC和BC上，EF=$\frac{1}{2}$EH，AB=6cm，求矩形EFGH的周长．

Answer 1

分析 过C作M⊥AB交EG于N，根据矩形的性质得到EG∥FH，由等腰直角三角形的性质得到CM=$\frac{1}{2}$AB=3cm，求得CN=3-EF，根据相似三角形的性质的$\frac{EG}{AB}=\frac{CN}{CM}$，即$\frac{2EF}{6}=\frac{3-EF}{3}$，即可得到结论．

解答 解：过C作M⊥AB交EG于N，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EG∥FH，
∴CN⊥EG，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∴CN=3-EF，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△ACB，
∴$\frac{EG}{AB}=\frac{CN}{CM}$，即$\frac{2EF}{6}=\frac{3-EF}{3}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$，
∴EG=3，
∴矩形EFGH的周长=2（$\frac{3}{2}$+3）=9．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△CEG∽△ACB是解决问题的关键．