Question

1．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△CDE是等边三角形．
（1）求证：AE=BE；
（2）试求tan∠BAE的值．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形和等边三角形的性质得出AD=DE，∠ADE=30°，求出∠DEA和∠CEB，由等腰三角形的性质求出∠DAE=75°，得出∠BAE=∠ABE，即可得出结论；
（2）延长AE交BC于M，作BN⊥AM于N，设BN=x，由三角形的外角性质得出∠BEN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BN=2x，求出EN=$\sqrt{3}$x，得出AN，由三角函数的定义即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=90°，DE=CD=CE，∠EDC=∠DEC=60°，
∴AD=DE=BC=CE，∠ADE=30°，
∴∠DAE=∠DEA，∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠DAE=75°，
∴∠BAE=90°-75°=15°，
同理：∠ABE=15°，
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE；
（2）解：延长AE交BC于M，作BN⊥AM于N，如图所示：
设BN=x，
∵∠BEN=15°+15°=30°，
∴BE=2BN=2x，∴EN=$\sqrt{3}$x，
∴AN=（2+$\sqrt{3}$）x，
∴tan∠BAE=$\frac{BN}{AN}$=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键．