Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：
①4a-2b+c＜0；
②2a-b＜0；
③b²+8a＞4ac；
④b＜-1．
其中正确的有 （　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①将x=-2代入y=ax²+bx+c，可以结合图象得出x=-2时，y＜0；
②由y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，从而得出a-b=0，二次函数的开口向下，于是得到2a-b＜0；
③把（-1，2），代入a-b+c=2，由图知：当x=1时得到a+b+c＜0于是得到b＜-1；
④利用③的解析式得出，b²+8a＞4ac．

解答 解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞-1，且c＞0；
①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；
②已知x=-$\frac{b}{2a}$＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由（2）-（1）可得2b＜-2，
∴b＜-1，故③正确；
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正确．
故选：D．

点评 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．