Question

6．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是$\widehat{BD}$的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②当BD=5，CD=4时，DF=2．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）由圆周角、弧、弦间的关系即可推出CA=CF；
（3）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC=6．得出CA=CF=6，故DF=CA-CD=2．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABC+∠DAB=90°．
∵∠DAC=∠AED，∠AED=∠ABC，
∴∠DAC+∠DAB=90°，
∴AC是⊙O的切线．（3分）
（2）①证明：∵点E是$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠BAE=∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB=90°，∠ABC+∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠ABC．
∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA=∠CAF．
∴CA=CF．
②解：∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$．即AC²=BC×CD=（5+4）×4=36．
解得AC=6．
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2．
故答案为2．

点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．