Question

1．已知关于x的方程x²+（2m-6）x+m²-7=0有两个不相等的实数根，两根的平方和为10，且两根分别是A点和B点的横坐标（如图），以AB为直径作圆M交y轴于点C和点D，点E是$\widehat{BD}$上一点，BF⊥CE于点F，连接DE．
（1）求m的值；
（2）求$\frac{CE-DE}{FE}$的值；
（3）若EF=$\frac{1}{2}$，求DE的值．

Answer 1

分析 （1）根据△＞0可求出m的取值范围，然后运用根与系数的关系及条件就可求出m的值；
（2）连接EB并延长至点G，使得BG=DE，根据（1）中m的值，可求出OA、OB、AB、AM、CM，根据勾股定理可求出CO、CB，根据垂径定理可求出OD、CD，即可得到CD=CB，由此可证到△CDE≌△CBG，则有CE=CG，从而可证到△CEG是等边三角形，则有CE=EG，即可得到CE-DE=BE，只需求出FE与BE的数量关系即可；
（3）由条件可求出EF、BE，根据勾股定理可求出CF，从而可求出CE（即EG），即可求出BG（即DE），问题得以解决．

解答 解：（1）由题可得：
△=（2m-6）²-4×1×（m²-7）＞0，①
x₁+x₂=-（2m-6），②
x₁•x₂=m²-7，③
x₁²+x₂²=10，④
解①得m＜$\frac{8}{3}$．
由④得：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2m-6）²-2（m²-7）=10，
整理得m²-12m+20=0，
解得m₁=2，m₂=10．
∵m＜$\frac{8}{3}$，
∴m=2；

（2）连接EB并延长至点G，使得BG=DE，如图所示．
当m=2时，原方程为x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，OA=1，OB=3，
∴CM=AM=2，OM=1，
∴OC=$\sqrt{3}$，sin∠OMC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OMC=60°，
∴∠CMB=120°，
∴∠CEB=60°．
∵直径AB⊥CD，
∴OD=OC=$\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．
在Rt△COB中，
BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$，
∴CD=CB．
∵∠CDE+∠CBE=180°，∠CBG+∠CBE=180°，
∴∠CDE=∠CBG．
在△CDE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDE=∠CBG}\\{DE=BG}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBG，
∴CE=CG．
∵∠CEG=60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴CE=EG．
在Rt△BFE中，
cos∠FEB=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE-DE}{FE}$=$\frac{EG-BG}{FE}$=$\frac{BE}{FE}$=2；

（3）在Rt△CFB中，
∵BF=EF•tan60°=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CB=2$\sqrt{3}$，
∴CF=$\sqrt{C{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴CE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴DE=BG=EG-BE=CE-BE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系、等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、三角函数、勾股定理等知识，构造三角形全等是解决第（2）小题的关键，需要注的意是运用根与系数的关系的前提是一元二次方程有根（即根的判别式非负）．