Question

13．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm．如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm²．

（1）当x=0时，S=8cm²；当x=4时，S=24cm²；当x=6时，S=28cm²．
（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26cm²？若存在，请求出此时x的值．

Answer 1

分析 （1）当x=0cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积是两直角边都为4厘米的三角形面积；当x=4cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积=两直角边都为8厘米的三角形面积-两直角边都为4厘米的三角形面积；当x=6cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积=（两直角边都为8厘米的三角形面积-两直角边都为6厘米的三角形面积）×2，依此即可求解；
（2）根据阴影部分面积为26cm²，列出方程$\frac{1}{2}$（x+8）（8-x）+$\frac{1}{2}$（16-x-4+8）（4-8+x）=26，解方程即可求解．

解答 解：（1）当x=0cm时，S=4×4÷2=8cm²；
当x=4cm时，S=8×8÷2-4×4÷2=24cm²；
当x=6cm时，S=（8×8÷2-6×6÷2）×2=28cm²．
故答案为：8cm²；24cm²；28cm²．

（2）当S=26cm²时，x必然大于4，即$\frac{1}{2}$（x+8）（8-x）+$\frac{1}{2}$（16-x-4+8）（4-8+x）=26，
解得x₁=6-$\sqrt{2}$，x₂=6+$\sqrt{2}$．
故当x₁=6-$\sqrt{2}$，x₂=6+$\sqrt{2}$时，阴影部分面积为26cm²．

点评 本题考查了平移的性质，动点问题的函数图象，涉及的知识点有：直角三角形的面积，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，难度中等．