Question

5．阅读下面问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$；
  $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2．
试求：（1）$\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（2）$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$（n为正整数）=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
（3）$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}}+\frac{1}{{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）分子、分母都乘以$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$，分母有理化可得；
（2）分子、分母都乘以$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，分母有理化可得；
（3）将原式按照以上规律拆开后两两抵消后即可得．

解答 解：（1）$\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$=$\frac{1×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；

（2）$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（3）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1．

点评 本题主要考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式中分母有理化及运用已知规律求值是解题的关键．