Question

15．顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，请你利用如图所示的黄金三角形求sin18°的值．

Answer 1

分析 根据黄金三角形的对角为36°，其底与一腰之比为黄金比，作出黄金三角形顶角的平分线，即可得出sin18°的值

解答 解：如图所示：∵△ABC是黄金三角形，
∴∠BAC=36°，AB=AC，BC：AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
作∩BAC的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=18°，AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴sin18°=sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

点评 本题考查了黄金分割的定义及性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义；运用黄金三角形进行证明是解决问题的关键．