Question

5．如图，在?ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接EC、AF，AF与EC交于点M，AF的延长线与DC的延长线交于点N．
（1）求证：AB=CN；
（2）若△AEM的面积为2，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB=CN，只要证明△ABF≌△NCF即可．
（2）连接AC，根据AE∥CN得$\frac{EM}{MC}$=$\frac{AE}{CN}$=$\frac{1}{2}$，由此求出△AMC的面积，再求出△AEC、△ABC的面积，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DN，
∴∠B=∠NCF，
∵点F为BC中点，
∴BF=FC，
在△ABF和△NCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠NCF}\\{BF=CF}\\{∠AFB=∠NFC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△NCF，
∴AB=CN．
（2）连接AC，
∵E是AB中点，
∴AB=CN=2AE，
∵AE∥CN，
∴$\frac{EM}{MC}$=$\frac{AE}{CN}$=$\frac{1}{2}$，
∵S_△AEM=2，
∴S_△AMC=2S_△AEM=4，
∴S_△AEC=6，
∴S_△ABC=2S_△AEC=12，
∴S_{平行四边形ABCD}=2S_△ABC=24．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解异底同高的两个三角形面积比等于底的比，平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的两个三角形，属于中考常考题型．