Question

1．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．则下列结论正确的是：①△ABD≌△EBC；②S_△ABD=S_△BDC；③∠BCE+∠BCD=180°；④AD=AE=EC；其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由SAS证明△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①正确，由三角形的面积关系得出②不正确；再根据角平分线和全等三角形的性质得出③正确；证出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，因此AD=AE=EC，④正确；即可得出结论．

解答 解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}&{\;}\\{∠ABD=∠CBD}&{\;}\\{BD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；
②∵没有条件得出AD=CD，
∴S_△ABD≠S_△BDC，②不正确；
③∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，③正确；
④由③得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，④正确；
故选：B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．