Question

13．二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．

Answer 1

分析 （1）连接OD，当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解方程得出x=4，或x=-2，得出点A和B的坐标，当x=0时，y=4，得出点C的坐标，把二次函数化成顶点式，得出顶点坐标，四边形ABCD的面积=△BOC的面积+△OCD的面积+△OAD的面积，即可得出结果；
（2）设D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），四边形ABCD′的面积为S，则四边形ABCD′的面积S=△BOC的面积+△OCD′的面积+△OAD′的面积，得出S是x的二次函数，得出当x=2时，S最大，当x=2时，求出纵坐标即可．

解答 解：（1）如图所示：连接OD，
∵二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x=4，或x=-2，
∴A（4，0），B（-2，0）；
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∵二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴D（1，$\frac{9}{2}$），
∴四边形ABCD的面积=△BOC的面积+△OCD的面积+△OAD的面积=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×$\frac{9}{2}$=15；
（2）如图2所示：
设D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），四边形ABCD′的面积为S，
则四边形ABCD′的面积S=△BOC的面积+△OCD′的面积+△OAD′的面积
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×4×x+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）
=-x²+4x+12
=-（x-2）²+16，
∵-1＜0，
∴S有最大值，当x=2时，S最大，
当x=2时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=4，
∴D′坐标为（2，4）．

点评 本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、二次函数的综合运用以及最值问题；熟练掌握二次函数的运用，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解决问题的关键．