Question

16．如图，D为△ABC的边BC的中点，△ABE，△ACF均为正三角形，M，N分别为BE，CF的中点，求∠MDN的度数．

Answer 1

分析 连接BF、CE，由正三角形的性质得出∠BAE=∠CAF=60°，AE=AB，AC=AF，证出∠EAC=∠BAF，由SAS证明△EAC≌△BAF，得出∠AEC=∠ABF，由三角形内角和定理和对顶角相等得出∠BOG=∠BAE=60°，求出∠1+∠2=∠BOM=60°，由三角形中位线定理得出DM∥CE，DN∥BF，由平行线的性质得出∠3=∠2，∠4=∠1，求出∠3+∠4=60°，由三角形内角和定理即可得出结果．

解答 解：连接BF、CE，如图所示：
∵△ABE，△ACF均为正三角形，
∴∠BAE=∠CAF=60°，AE=AB，AC=AF，
∴∠EAC=∠BAF，
在△EAC和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAC=∠BAF}&{\;}\\{AC=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴∠AEC=∠ABF，
∵∠AME=∠BMC，
∴∠BOG=∠BAE=60°，
∴∠1+∠2=∠BOM=60°，
∵M，N分别为BE，CF的中点，D为△ABC的边BC的中点，
∴DE是△BCE的中位线，DN是△BCF的中位线，
∴DM∥CE，DN∥BF，
∴∠3=∠2，∠4=∠1，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=60°，
∴∠MDN=180°-60°=120°．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．