Question

6．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF=CG；
（2）AB+AC=2AG．

Answer 1

分析 （1）连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG；
（2）根据（1）中的条件证得Rt△AFE≌Rt△AGE，根据全等三角形的性质得到AG=AF，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG；

（2）在Rt△AFE与Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG=AF，
∵AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AG+AF=2AG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定定理是解题的关键．