Question

12．已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F．分别把Rt△BAE和Rt△DCF沿 BE，DF折叠成如图所示位置．
（1）若得到四边形 BFDE是菱形，求AE的长．
（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=90°，设AE=xcm，则ED=（4-x）cm，由菱形的性质得出EB=ED=4-x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由勾股定理求出BD，由折叠的性质得出A′E=AE，∠EA′B=∠A=90°，A′B=AB=3cm，求出A′D，设AE=A′E=x，则ED=（4-x）cm，在Rt△EA′D中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
设AE=xcm，则ED=（4-x）cm，
∵四边形EBFD是菱形，
∴EB=ED=4-x，
由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{7}{8}$cm；
（2）根据勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5cm，
由折叠的性质得：A′E=AE，∠EA′B=∠A=90°，A′B=AB=3cm，
∴∠EA′D=90°，A′D=5-3=2（cm），
设AE=A′E=x，则ED=（4-x）cm，
在Rt△EA′D中，A′E²+A′D²=ED²，
即x²+2²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$cm．

点评 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．