Question

8．已知，如图，AG、DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，且$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BG}{EH}$=$\frac{AG}{DH}$，求证：△DEF∽△ABC．

Answer 1

分析 先根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断△ABG∽△DEH，则∠B=∠E，∠BAG=∠EDH，再利用角平分线定义得到∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠EDH=$\frac{1}{2}$∠EDF，所以∠BAC=∠EDF，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DEF∽△ABC．

解答 证明：∵$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BG}{EH}$=$\frac{AG}{DH}$，
∴△ABG∽△DEH，
∴∠B=∠E，∠BAG=∠EDH，
而AG、DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，
∴∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠EDH=$\frac{1}{2}$∠EDF，
∴∠BAC=∠EDF，
而∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．

点评 本题考了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．