Question

16．已知关于x的方程x²-（m²+3）x+$\frac{1}{2}$（m²+2）=0
（1）证明：无论m是任何实数，方程总有两个正根；
（2）设x₁，x₂为方程的两根，且满足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$-x₁x₂=$\frac{17}{2}$，求m值．

Answer 1

分析 （1）设方程的两个实数根为x₁、x₂，根据△≥0恒成立，x₁•x₂＞0．x₁+x₂＞0恒成立，即可证明．
（2）由方程的两个实数根为x₁、x₂，根据根与系数的关系即可解答

解答 解：（1）设方程的两个实数根为x₁、x₂，
△=（m²+3）²-4×$\frac{1}{2}$（m²+2）=m⁴+4m²+5=（m²+2）²+1≥0恒成立，
x₁•x₂=$\frac{1}{2}$（m²+2）＞0恒成立，
x₁+x₂=m²+3＞0恒成立，
∴无论m是任何实数，方程总有两个正根；
（2）∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$-x₁x₂=$\frac{17}{2}$，
∴（x₁+x₂）²-3x₁x₂=$\frac{17}{2}$，
∴（m²+3）²-3×$\frac{1}{2}$（m²+2）=$\frac{17}{2}$，
整理得：（2m²-1）（m²+5）=0
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．