Question

9．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，连结AD与BE相交于点F，求$\frac{AF}{FD}$的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1-1）．
∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴$\frac{FH}{FD}$=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{2}{1}$．
∵CH∥FE，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{FH}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{AF}{FH}$•$\frac{FH}{FD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{1}$=$\frac{2}{3}$．
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1-2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1-3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）①如图2-1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，$\frac{AE}{EC}=\frac{a}{b}$，连结AD与BE相交于点F，则$\frac{AF}{FD}$=$\frac{2a}{b}$（用含a、b的式子表示）．
②如图2-2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{m}{n}$，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{a}{b}$，连结AD与BE相交于点F，求$\frac{AF}{FD}$的值（用含a、b、m、n的式子表示）．
（3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，连结AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．

Answer 1

分析 （1）小英的方法只要证明求出AE：EG的值即可解决问题．小聪是方法，只要求出BM：BD的值即可．
（2）①如图2-1中，作DG∥BE交AC于G．想办法求出AE：EG的值即可解决问题．②方法类似①．
（3）如图3中，作DG∥BE交AC于G．首先证明AF：DF=2：1，再分别求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面积即可．

解答 （1）解：小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1-2），
∵DG∥BE，BD=CD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$=1，
∴EG=CG，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，EG=GC，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{3}$．
小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1-3）；
∵AM∥EB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∵BD=DC，
∴$\frac{BM}{DB}$=$\frac{2}{3}$，
∵BF∥AM，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{BM}{BD}$=$\frac{2}{3}$．

（2）解：①如图2-1中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD=CD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$=1，
∴EG=CG，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{a}{b}$，EG=GC，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{2a}{b}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2a}{b}$．
故答案为$\frac{2a}{b}$．

②如图2-2中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD=CD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{EG}{CG}$=$\frac{m}{n}$，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{a}{b}$，设AE=a，EC=b，EG=mk，CG=nk，
则b=mk+nk，k=$\frac{b}{m+n}$
∴EG=$\frac{mb}{m+n}$，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{a}{\frac{mb}{m+n}}$=$\frac{a（m+n）}{mb}$
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{a（m+n）}{mb}$．

（3）解：如图3中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$=2，
∴2EG=CG，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，GC=2EG，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{1}$，
∵S_△ABC=45，BD：DC=1：2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{3}$×45=15，
∵AF：DF=2：1，
∴S_△ABF=$\frac{2}{3}$S_△ABD=$\frac{2}{3}$×15=10，
∴S_△BDF=5，
∵AE：EC=2：3，
∴S_△BEC=$\frac{3}{5}$•S_△ABC=$\frac{3}{5}$×45=27，
∴S_{四边形EFDC}=S_△ECB-S_△BDF=27-5=22．

点评 本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．