Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．
（1）利用尺规作⊙O，使⊙O经过点A，D，且圆心O在AB上，并标出⊙O与AB的另一个交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在你所作的图中，
①判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若AB=6cm，BD=2$\sqrt{3}$cm，求：线段BD，BE与劣弧$\widehat{DE}$所围成的图形面积（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）分别以A、D为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AD为半径画弧，交于点M、N，作直线MN，交线段AB于点O，再以O为圆心，以OA或OD为半径画圆交AB于E，则⊙O就是所求作的圆；
（2）①连接OD，证AC∥OD得∠ODB=∠C=90°，则BC与⊙O相切；
②设⊙O半径为x，根据勾股定理求出圆O的半径，则所求图形面积=S_△ODB-S_扇形ODE，代入面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图1所示：





（2）①如图2，BC与⊙O相切，理由是：
连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AC∥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴BC与⊙O相切；
②如图2，设⊙O半径为x，则OA=OD=x，OB=6-x，
在Rt△ODB中，OD²+BD²=OB²，
∴x²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-x）²，
x=2，
∴OD=2，OB=6-2=4，
∴∠B=30°，∠DOB=90°-30°=60°，
设线段BD，BE与劣弧$\widehat{DE}$所围成的图形面积为S，
则S=S_△ODB-S_扇形ODE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$；
∴线段BD，BE与劣弧$\widehat{DE}$所围成的图形面积为（2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$）cm²．

点评 本题是圆的综合题，综合考查了尺规作圆、扇形面积公式、勾股定理和切线的证明，难度不大；过两点作圆，直接作两点为线段的垂直平分线，圆心就是这条垂直平分线上；在判定一条直线是否为圆的切线时，①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”，本题就是第二种情况，有交点，作半径，证垂直．